分布函数概念与性质

1. 分布函数的定义 $F(x)=P\left\{X \leq x\right\},-\infty\leq x\leq \infty$
2. 分布函数的性质 1) 单调非减 2) $0\leq F(x)\leq{1}$且在$\pm \infty$处的极限为1和0 3) F(x)有右连续性

满足这三条性质(右连续,单调,极限)也能判定成是分布函数

3. 由分布函数的定义, 形如$P \left\{X\leq x\right\}=F(x)$, 如果是$P \left\{X< x\right\}=F(x)$就需要用F(x)的左极限算; 如果是两边都有范围, 同理要判断什么极限然后作差
4. 常见分布的分布函数 $B(1,p)$ 0-1(伯努利)分布 $F(x)=\begin{cases} 0,x<0, \\ 1-p,0\leq x<1, \\ 1, x\geq{1}, \end{cases}$ $U(0,1)$均匀分布 $F(x)=\begin{cases} 0,x < 0 ,\\ x, 0\leq x\leq{1} \\ 1, x\geq 1 \end{cases}$ $Beta(2,1)$分布 $f(x)=\begin{cases} 2x ,0\leq x\leq1, \\ 0, 其他 \end{cases}, F(x)=\begin{cases} 0, x<0\\ x^{2} ,0\leq x\leq1, \\ 1, x>1 \end{cases}$

可以发现, 后两者的密度函数大小关系不定, 但是$F_1(x)>F_{2}(x)$始终成立

5. $X$表示一种样本分布, $X=Y$表示$X$,$Y$的是随机变量作为函数在每个样本点上的取值相同相同, 即有 $1.X=Y$ $\implies 2. P\{X=Y\}=P\{w:X(w)=Y(w)\}=1$ $\implies 3. F_{x}(x)=F_{Y}(y)=F_{Y}(x) \implies 4. E(X)=E(Y) \implies 5. D(X)=D(Y)$ 但是$2 ⇏ 1(可能维度不同, 概率无法推出事件)$ , $3 ⇏ 2(X,Y=-X\sim N(0,1),分布想同, 但是取不到相同的值)$ , $4,5 ⇏ 3$

一维离散型随机变量及其分布

1. 分布律 -> $P\{X=x_{i}\}=p_{i},i=1,2,\dots$ 1) $p_i\geq 0$, $\sum_{i=1}^\infty p_{i}=1$ 2) F(x)为阶梯状
2. 二项分布$X\sim B(n,p)$, 分布律 -> $P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{k}$
3. 泊松分布$X\sim P(\lambda)$, 分布律 -> $P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$ 含义 -> 描述单位时间或单位空间内随机事件的发生次数k的概率分布, 常用于稀有事件建模; 其中$\lambda$是单位时间(或空间)内事件的平均发生次数. 当n很大,p很小时, 且$\lambda=np$为有限值时, 二项分布可以近似为泊松分布
4. 几何分布$X\sim G(p)$, 分布律$P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p$ 含义 -> 几何分布描述在一系列独立伯努利试验中, 首次成功所需的试验次数的概率分布. 几何分布具有无记忆性, 即$P\{X>m+n|x>m\}=P\{X>n\}$ -> 直观理解: 已经失败了  次, 仍然不会影响”还需要多少次才首次成功”的概率分布. 每次试验都是全新的开始, 过去的失败不会”积累”成成功.

在所有离散型分布中, 几何分布是唯一具有无记忆性的分布; 在之后的章节中才会仔细探讨期望方差等参数

一维连续型随机变量及其分布

1. 分布函数的基本概念
   1. 定义 -> $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
   2. 概率密度函数$f(x)\geq 0;\int _{-\infty}^{+\infty}f(x) dx=1$
   3. 概率的计算 -> 对应区间上$f(x)$与$x$轴,$x=x1$,$x=x2$形成的面积$P\{x_{1}\leq X\leq x_{2}\}=P\{x_{1}<X<x_{2}\}=F(x_{2})-F(x_{1})=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$

显然$F(x)和f(x) \geq 0$

2. 均匀分布$X \sim U(a,b)$$$概率密度为f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a<x<b, \ 0,其他, \end{cases}分布函数为F(x)=\begin{cases}0,x<a,\ \frac{x-a}{b-a},a\leq x< b ,\1,x\geq b.\end{cases}$$
3. 指数分布$X \sim E(\lambda)$ $概率密度为f(x)=\begin{cases}\lambda e^{ -\lambda x },x>0,\\ 0, 其他,\end{cases} 分布函数为F(x)=\begin{cases}0,x<0,\\1-e^{ -\lambda x },x\geq 0.\end{cases}$

指数分布具有无记忆性, 即$P\{X>m+n|x>m\}=P\{X>n\}$

4. 正态分布 -> 1) 概率密度 -> $X \sim N(\mu,\sigma^{2}) \iff f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty$ 2) 标准正态分布 -> 概率密度关于y轴对称$X \sim N(0,1^{2}) \iff \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<+\infty$ $分布函数\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt,-\infty<x<+\infty$ 分布函数单调递增且有对称性 -> $\Phi(0)=\frac{1}{2},\Phi(a)+\Phi(-a)=1$ 3) 标准化 -> $X \sim N(\mu,\sigma^{2}) \implies \frac{{X-\mu}}{\sigma}\sim N(0,1),F(x)=\Phi\left( \frac{{x-\mu}}{\sigma} \right)$ 4) 线性运算 -> $X \sim N(\mu,\sigma^{2}) \implies Y=aX+b \implies \sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})$

一维随机变量函数的分布

假设随机变量$Y$由函数$y=g(x)$确定, $X$的概率密度为$f_{X}(x),x \in (-\infty,+\infty)$

1. 定义法 -> 画变量y-x的图象, 找变量分段点; 划分区间从小到大, 每个$F_Y(y)$都要解$Y=g(x)\leq y$, 积分求解分布函数值
2. 公式法 -> 若$y=g(x)$处处可导且严格单调,$h(y)$为其反函数, 则$Y=g(x)$是连续型随机变量(要求非常严格), 则其概率密度为$f_{Y}(y)=\begin{cases}f_X[h(y)]\cdot|h'(y)|,\alpha<y<\beta,\\ 0, 其他 \end{cases}$其中$(\alpha,\beta)为函数y=g(x)的值域$

好像所有的题都能不用公式法

结论

1. 泊松分布长得很像级数…
2. 泊松分布中两次事件之间间隔时间的分布函数可以表示出来$F_{T}(t)=P\{T\leq t\}$, 同时时间$t\geq0$; 且$F_{T}(t)=1-P\{T> t\}$后者即t时间内无事件发生(k=0的泊松分布), 可以转成指数分布
3. 正态分布的标准化一般是用来带入P{…}来计算概率的
4. [[概率-分布函数的一个性质]] -> 若 $X$ 是一维连续型随机变量, $F(x)$ 是它的分布函数, 则 $Y = F(X) \sim U(0,1)$就是把 $X$ 代入自己的分布函数后, 得到的新随机变量服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。
5. 该题(33)为条件概率,离散分布,无穷级数的大杂烩; 关于[[概率-泊松分布与幂级数|泊松分布与幂级数]]

总结

• [[概率_2]]